Mittelwert, Median, Modus und Standardabweichung erklärt
Es gibt drei gängige Maße für den „Durchschnitt“ – jedes erzählt eine andere Geschichte über Ihre Daten:
- Mittelwert: Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Am besten geeignet für symmetrische Daten ohne extreme Ausreißer. Beispiel: [10, 20, 30] → Mittelwert = 20.
- Median: Der mittlere Wert nach der Sortierung. Bei Ausreißern besser als der Mittelwert. Beispiel: [10, 20, 100] → Median = 20 (der Mittelwert wäre 43,3, verzerrt durch die 100).
- Modus: Der am häufigsten vorkommende Wert. Nützlich bei kategorialen Daten. Beispiel: [1, 2, 2, 3, 4] → Modus = 2.
Standardabweichung misst, wie weit die Werte um den Mittelwert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte dicht am Mittelwert liegen; eine große bedeutet eine breite Streuung. Für den Datensatz [10, 20, 30]: Mittelwert = 20, Standardabweichung = 8,16.
Häufig gestellte Fragen
Wann sollte ich den Median statt des Mittelwerts verwenden?+
Verwenden Sie den Median, wenn Ihre Daten extreme Ausreißer enthalten oder schief verteilt sind. Beim durchschnittlichen Haushaltseinkommen etwa ist der Median aussagekräftiger als der Mittelwert, weil einige wenige Milliardäre den Mittelwert stark nach oben ziehen, während die meisten Menschen weit weniger verdienen.
Wofür wird die Standardabweichung verwendet?+
Die Standardabweichung misst die Streuung von Daten. Im Finanzwesen misst sie die Volatilität einer Anlage. Bei Tests zeigt sie, ob Ergebnisse deutlich vom Durchschnitt abweichen. In einer Normalverteilung liegen rund 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert.
Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung der Grundgesamtheit und der Stichprobe?+
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) teilt durch n, die der Stichprobe (s) durch n−1. Nutzen Sie die Grundgesamtheit, wenn Ihnen die Daten der gesamten Gruppe vorliegen, und die Stichprobe, wenn Ihre Daten nur ein Ausschnitt einer größeren Gesamtheit sind.
Was ist die Spannweite?+
Die Spannweite ist das einfachste Streuungsmaß: größter Wert minus kleinster Wert. Für [5, 10, 15, 20]: Spannweite = 20 − 5 = 15. Sie reagiert empfindlich auf Ausreißer, ist aber leicht verständlich.
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Mittelwert, Median und Modus erklärt
Das arithmetische Mittel addiert alle Werte und teilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Reihe (bei gerader Anzahl der Durchschnitt der beiden mittleren Werte), der Modus der häufigste Wert. Jede Kennzahl erzählt eine andere Geschichte über Ihre Daten.
Rechenbeispiel
Für die Reihe 4, 7, 7, 10, 52 beträgt der Mittelwert 16, der Median 7 und der Modus 7. Der einzelne Ausreißer (52) zieht den Mittelwert weit über den typischen Wert – deshalb werden Immobilienpreise und Einkommen meist als Median angegeben.
Häufige Fragen
Wann brauche ich einen gewichteten Durchschnitt? Wenn die Werte unterschiedlich schwer wiegen – Kursnoten nach Credits gewichtet, Portfoliorenditen nach Positionsgröße.
Und das geometrische Mittel? Es eignet sich für Wachstumsraten: Das geometrische Mittel aus +50 % und −50 % zeigt korrekt einen Verlust, während das arithmetische Mittel irreführend 0 % ausweist.